Cas des treillis
Définition :
Un treillis est un assemblage de poutres droites (ou barres) liées entre elles ou au bâti par des articulations parfaites.
Caractéristiques
Lorsqu'un système triangulé est soumis à un effort, certaines parties de l'assemblage sont mises en compression et d'autres parties en tension.
Par exemple, dans le cas d'un pont, les poutres supérieures sont comprimées, les poutres inférieures sont tendues, et les pièces en diagonale évitent le vrillage des poutres principales.
Les axes des barres se rejoignent en nœuds, qui sont des articulations parfaites. Les charges ne sont donc appliquées qu'aux seuls nœuds. Il n'y a pas de charges réparties sur les barres (elles sont de ce fait supposées non pesantes).
Les équations d'équilibre du treillis
Les notations utilisées sont les suivantes (voir dessin ci-avant) :
: nœud de jonction des barres
,
,
, ...
: vecteur unitaire issu de
dans la direction de la barre
.
: force extérieure agissant sur le nœud
.Vecteur
action de la barre
sur le nœud
(à l'équilibre).
: déplacement (à l'équilibre) du nœud
.
Remarque : Si
est positif, la barre
est en traction.Les équations d'équilibre se réduisent donc à celles des nœuds. Celles-ci s'écrivent :
La somme se fait sur toutes les barres aboutissant au nœud
. Chaque nœud fournit une équation vectorielle (trois équations scalaires dans l'espace, deux équations scalaires dans le plan)
Équations d'allongement des barres :
Une barre
de section
, de module d'Young
et de longueur
, soumise à un effort normal constant
subit un allongement
. On a :
Si nous isolons une barre quelconque d'un treillis, ses extrémités notées
et
sont soumises aux forces extérieures
et
Les actions sur une barre lui sont colinéaires, égales en modules et opposées entre elles, telles que :
Calcul de charge, détermination des efforts normaux dans les barres
La première chose est de savoir comment chaque élément va être chargé :
intensité de la force,
sens de la force (traction ou compression).
La méthode de référence est la méthode des nœuds : on isole les nœuds un par un et on écrit le principe fondamental de la statique. C'est une méthode précise avec une solution analytique ou graphique (épure de Cremona) mais longue et fastidieuse pour les grandes structures.
On peut déterminer les efforts dans trois poutres simultanément en utilisant la méthode de Ritter, ou méthode des sections, qui utilise le principe de la coupure.
Calcul de stabilité
La stabilité consiste à déterminer l'isostatisme.
Chaque poutre peut tourner et il faudra suffisamment de barres dans la structure pour qu'elles se stabilisent. Dans le cas d'un système isostatique, il y juste le nombre de barres suffisant pour l'équilibre mais, en cas de rupture d'une seule, le système est instable. De fait, les structures sont donc fréquemment hyperstatiques mais les calculs dans le cas hyperstatique sont plus compliqués, puisque les équations de la statique ne suffisent plus.
Lors de calculs manuels, il est souvent possible de transformer un treillis hyperstatique en un cas isostatique, en négligeant les barres comprimées (en admettant qu'elles flambent) sous un cas de charge donné.
